Введение в теорию вероятностей [Андрей Райгородский]

Складчина: Введение в теорию вероятностей [Андрей Райгородский]

В уникальной форме познакомитесь с основами теории вероятностей — рассмотрите вероятностные объекты и методы на примерах решения комбинаторных задач. Это позволит вам использовать вероятности в теории графов, случайных графов, веб-графов и прочих сложных сетей.

Что будет на курсе:

• Основные понятия теории вероятностей
• Предельные теоремы
• Вероятностная техника для решения комбинаторных задач
  

Теория вероятностей - это, вне всякого сомнения, один из самых важных и богатых приложениями разделов современной математики.
С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса.

Программа

1. Классическое определение вероятности
2. Условные вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса
3. Схема испытаний Бернулли
4. Случайные величины
5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
6. Применение схемы Бернулли к задаче о раскраске
7. Независимые случайные величины и закон больших чисел
8. Предельные теоремы
9. Геометрическая вероятность
10. Колмогоровская аксиоматика
11. Абсолютно непрерывные случайные величины
12. Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин
13. Метод моментов

Спойлер: Подробная программа

1. Классическое определение вероятности

• Классическая вероятность. Случайное событие и вероятность на примере с игральной костью.
• Классическое определение вероятности.
• Свойства вероятности.
• Формулировка задачи.
• Решение задачи.
• Задача о книжной полке.
• Задача о случайном подмножестве.
• Задача о простом цикле в классической модели.
• Задача о двух кубиках.
• Задача о двух случайных числах.

2. Условные вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса

• Условная вероятность. Определение условной вероятности.
• Независимость двух и нескольких событий.
• Формула полной вероятности.
• Задача с урнами на применение формулы полной вероятности.
• Формула Байеса.
• Задача на применение формулы Байеса.
• Задача о трёх случайных числах.
• Задача о двух студентах на экзамене.
• Задача про игральные кости.
• Задача о двух случайных подмножествах.
• Задача об урнах.
• Задача об условной вероятности простого цикла.

3. Схема испытаний Бернулли

• Схема испытаний Бернулли.
• Схема испытаний Бернулли: множество элементарных исходов и вероятность успеха.
• Схема испытаний Бернулли: вероятность элементарного исхода.
• Подсчёт вероятности события наступления фиксированного количества успехов.
• Задача о вероятности пересечения двух случайных множеств.
• Полиномиальная схема.
• Задача о двух гардеробах.
• Задача про частицу на прямой.
• Задача о пустом пересечении случайных подмножеств.
• Задача о трёх случайных подмножествах.
• Задача о простом цикле в схеме испытаний Бернулли.
• Задача о дереве.
• Задача о пользователе социальной сети.

4. Случайные величины

• Случайные величины. Вероятностные пространства в классическом случае и в схеме Бернулли.
• Конечное вероятностное пространство, свойства вероятности.
• Определение случайной величины.
• Случайный граф, число треугольников в случайном графе.
• Распределение случайной величины.
• Функции распределения.
• Задача о всевозможных случайных величинах.
• Задача о функции распределения модифицированной случайной величины.
• Задача о количестве пар ладей.
• Задача о числе компонентов связности случайного графа.

5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

• Математическое ожидание. Вероятность отсутствия треугольника в случайном графе. Математическое ожидание.
• Свойство линейности математического ожидания, примеры.
• Неравенство Маркова.
• Применение неравенства Маркова в задаче о пороговой вероятности существования треугольника.
• Определение дисперсии. Неравенство Чебышева.
• Неравенство Чебышева в задаче о пороговой вероятности: формулировка теоремы и начало доказательства.
• Завершение доказательства теоремы.
• Задача о веб-странице.
• Задача о космическом корабле.
• Задача о случайной перестановке.
• Задача об изолированных вершинах.
• Задача о хроматическом числе.
• Задача о полном графе на четырёх вершинах.
• Задача о непересекающихся парах случайных подмножеств.

6. Применение схемы Бернулли к задаче о раскраске

• Применение схемы Бернулли к задаче о раскраске. Введение.
• Обобщение задачи о раскраске пятнадцати множеств на случай произвольного числа множеств.
• Формулировка теоремы.
• Доказательство теоремы: первая раскраска.
• Доказательство теоремы: вторая раскраска, определение «плохого» события F.
• Доказательство теоремы: оценивание вероятности события F через вероятности событий A, A', C.
• Доказательство теоремы: оценивание вероятностей событий A, A'.
• Доказательство теоремы: оценивание вероятностей событий C.
• Доказательство теоремы: оценивание вероятности события F.
• Завершение доказательства: нахождение параметра p.
• Задача о числе Рамсея.
• Задача о родительском собрании.

7. Независимые случайные величины и закон больших чисел

• Независимые случайные величины и закон больших чисел. Определение независимости двух событий и независимости в совокупности.
• Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.
• Дисперсия суммы независимых случайных величин.
• Существование двух зависимых некоррелированных случайных величин.
• Формулировка закона больших чисел.
• Доказательство закона больших чисел.
• Задача о независимых случайных величинах.
• Задача об индикаторах в случайном графе.
• Задача о бесконечной серии испытаний Бернулли.
• Задача о математическом ожидании произведения случайных величин.
• Задача об изолированных вершинах случайного двудольного графа.

8. Предельные теоремы

• Предельные теоремы. Математическое ожидание и дисперсия числа успехов в схеме Бернулли. Теорема Пуассона.
• Доказательство теоремы Пуассона.
• Теорема Муавра — Лапласа.
• Задача о двух гардеробах.
• Решение задачи о двух гардеробах.
• Задача про пьяницу.
• Применение неравенства Чебышева.
• Применение интегральной предельной теоремы.
• Экспоненциальная вероятность.
• Задача о случайных цифрах.
• Задача о стенографисте.
• Задача о благотворительном фонде.
• Задача об асимптотике вероятности фиксированного числа успехов.

9. Геометрическая вероятность

• Геометрическая вероятность.
• Задача о встрече.
• Решение задачи о встрече для случая дискретного времени.
• Решение задачи для случая непрерывного времени, геометрическая вероятность.
• Парадокс Бертрана.
• Задача о нахождении минимального числа пустых треугольников.
• Вероятностный метод в задаче о нахождении минимального числа пустых треугольников.
• Задача о касательных к окружности.
• Задача о двух случайных точках на отрезке.
• Задача о трёх случайных точках на окружности.
• Задача о треугольнике, составленном из трёх случайных отрезков.

10. Колмогоровская аксиоматика

• Колмогоровская аксиоматика. Отличия понятий гемеотрической и классической вероятностей.
• Колмогоровское определение вероятностного пространства: сигма-алгебра событий.
• Колмогоровское определение вероятностного пространства: вероятность.
• Интуитивное определение случайной величины.
• Борелевская сигма-алгебра.
• Случайная величина и функция распределения.
• Свойства функции распределения.
• Задача об операциях, определяющих алгебру.
• Задача о пересечении сигма-алгебр.

11. Абсолютно непрерывные случайные величины

• Абсолютно непрерывные случайные величины. Дискретные распределения: определение и примеры.
• Распределение Пуассона.
• Абсолютно непрерывные распределения: определение.
• Равномерное распределение.
• Стандартное нормальное распределение.
• Нормальное распределение.
• Экспоненциальное и хи-квадрат распределения.
• Сингулярные распределения.
• Математическое ожидание и дисперсия.
• Математическое ожидание функции от случайной величины.
• Моменты случайной величины.
• Независимые случайные величины.
• Задача о моментах стандартной нормальной случайной величины.
• Задача о преобразовании стандартной нормальной случайной величины.
• Задача о случайных величинах без математического ожидания.
• Задача о преобразовании случайной величины с распределением Коши.

12. Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин

• Утверждения теории вероятностей для произвольных случайных величин. Неравенство Маркова, неравенство Чебышева и закон больших чисел.
• Виды сходимостей случайных величин.
• Из сходимости по вероятности не следует сходимости почти наверно.
• Усиленный закон больших чисел.
• Центральная предельная теорема.
• Формула свёртки.
• Другие функции.
• Задача о порядковых статистиках.
• Задача о плотности разности независимых случайных величин.
• Задача о вычисления вероятностей.
• Задача о видах сходимостей случайных величин.
• Задача о сумме независимых биномиальных случайных величин.

13. Метод моментов

• Метод моментов. Связь первых моментов и распределения случайной величины.
• Факториальные моменты.
• Формула обращения.
• Пуассоновская аппроксимация.
• Деревья в случайном графе.
• Отсутствие деревьев.
• Пуассоновское число деревьев: вычисление математического ожидания.
• Пуассоновское число деревьев: вычисление второго факториального момента.
• Пуассоновское число деревьев: вычисление остальных факториальных моментов.
• Задача о пороговой вероятности, предел вероятности равен нулю.
• Задача о пороговой вероятности, предел вероятности равен единице.
• Задача о формуле обращения.
• Задача о производящей функции.
• Доказательство центральной предельной теоремы в случае конечных моментов.

Цена 3000 р
Скрытая ссылка